2018年全国高中数学联合竞赛

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2018全国高中数学联赛（B卷）

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分.

1.设集合A{2,0,1,8}，B{2a|aA}，则AUB的所有元素之和是______.

2.已知圆锥的顶点为P，底面半径长为2，高为1.在圆锥底面上取一点Q，使得直线PQ与底面所成角不大于45，则满足条件的点Q所构成的区域的面积为_____.

3.将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为a,b,c,d,e,f，则abcdef是奇数的概率为_____. 整数n，点(an1,an)均在l上.若a26，则a1a2a3a4a5的值为______.

r

4.在平面直角坐标系xOy中，直线l通过原点，n(3,1)是l的一个法向量.已知数列{an}满足：对任意正

)3，tan()5，则tan(的值为______. 362

6.设抛物线C:y2x的准线与x轴交于点A，过点B(1,0)作一直线l与抛物线C相切于点K，过点A作l的平行线，与抛物线C交于点M,N，则KMN的面积为______.

7.设f(x)是定义在R上的以2为周期的偶函数，在区间[1,2]上严格递减，且满足f()1,f(2)0，

0x1,

则不等式组的解集为______.

0f(x)1

zzz

8.已知复数z1,z2,z3满足|z1||z2||z3|1,|z1z2z3|r，其中r是给定实数，则123的实部

z2z3z1

是______（用含有r的式子表示）.

5.设满足tan(

二、解答题：本大题共3小题，满分56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 9.（本题满分16分）已知数列{an}:a17,





an1

an2,n1,2,3,….求满足an42018的最小正整数n. an

10.（本题满分20分）已知定义在R上的函数f(x)为

|log3x1|,0x9,

11.f(x)

4x,x9.

12.设a,b,c是三个互不相同的实数，满足f(a)f(b)f(c)，求abc的取值范围.

13.（本题满分20分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，A、B与C、D分别是椭圆x2y2

C:221(ab0的左、右顶点与上、下顶点.设P、Q是C上且位于第一象限的两点，满足

ab

OQ//AP，M是线段AP的中点，射线OM与椭圆交于点R. 14.证明：线段OQ、OR、BC能构成一个直角三角形.

15.

加试（B卷）

一、（本题满分40分）设a,b是实数，函数f(x)axb二、证明：存在x0[1,9]，使得|f(x0)|2

三、（本题满分40分）如图所示，在等腰ABC中，ABAC，边AC上一点D及BC延长线上一点E

满足

9

. x

ADBC

，以AB为直径的圆与线段DE交于一点F. 

DC2CE


四、证明：B,C,F,D四点共圆.（答题时请将图画在答卷纸上）

五、 六、（本题满分50分）设集合A{1,2,…,n}，X,Y均为A的非空子集（允许XY）.X中最大元与Y

中的最小元分别记为maxX,minY.求满足maxXminY的有序集合对(X,Y)的数目. 七、（本题满分50分）给定整数a2.证明：对任意正整数n，存在正整数k，使得连续n个数

ak1,ak2,…,akn均是合数.

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