中考数学压轴题型研究——动点几何问题解题方法

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中考数学压轴题型研究（一）——动点几何问题

下面以具体实例简单的说一说此类题的解题方法。

一、利用动点（图形）位置进行分类，把运动问题分割成几个静态问题，然后运用转化的思想和方法将几何问题转化为函数和方程问题

例1：（北京市石景山区2010年数学期中练习）在△ABC中，∠B=60°,BA=24CM,BC=16CM, (1)求△ABC的面积；

(2)现有动点P从A点出发，沿射线AB向点B方向运动，动点Q从C点出发，沿射线CB也向点B方向运动。如果点P的速度是4CM/秒，点Q的速度是2CM/秒，它们同时出发，几秒钟后，△PBQ的面积是△ABC的面积的一半？

(3)在第（2）问题前提下，P,Q两点之间的距离是多少？

点评：此题关键是明确点P、Q在△ABC边上的位置，有三种情况。 （1）当0﹤t≦6时，P、Q分别在AB、BC边上；

（2）当6﹤t≦8时，P、Q分别在AB延长线上和BC边上； （3）当t >8时, P、Q分别在AB、BC边上延长线上. 然后分别用第一步的方法列方程求解.

B

C

A

例2: (北京市顺义2010年初三模考)已知正方形ABCD的边长是1，E为CD边的中点， P为正方形ABCD边上的一个动点，动点P从A点出发，沿A →B → C →E运动，到达点E.若点P经过的路程为自变量x，△APE的面积为函数

y，

（1）写出y与x的关系式 (2)求当y＝

1

时，x的值等于多少？ 3

点评:这个问题的关键是明确点P在四边形ABCD边上的位置,根据题意点P的位置分三种情况:分别在AB上、BC边上、EC边上.

例3：(北京市顺义2010年初三模考)如图1 ，在直角梯形ABCD中，∠B=90°，DC∥AB，动点P从B点出发，沿梯形的边由B→C → D → A 运动，设点P运动的路程为x ,△ABP的面积为y , 如果关于x 的函数y的图象如图2所示 ，那么△ABC 的面积为（ ） A．32

B．18

C．16

D．10

y B

例4：（09齐齐哈尔）直线时从O点出发，同时到达

3

yx6与坐标轴分别交于A、B两点，动点P、Q同

4

运动，速度为每秒1个单位长

A点，运动停止．点Q沿线段OA

P O

Q

A x

度，点P沿路线O→B→（1）直接写出A、B两点的坐标； A运动．

（2）设点Q的运动时间为t秒，△OPQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式； （3）当S



48

时，求出点P的坐标，并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标． 5

点评：本题关键是区分点P的位置：点P在OB上，点P在BA上。

1

ABC的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN在△ABC的边AB上沿AB方向以

厘米/秒的速度向B点运动（运动开始时，点M与点A重合，点N到达点B时运动终止），过点M、N分别作AB边的垂

例5：（2009宁夏）已知：等边三角形

线，与△ABC的其它边交于P、Q两点，线段MN运动的时间为t秒．

（1）线段MN在运动的过程中，t为何值时，四边形MNQP恰为矩形？并求出该矩形的面积； （2）线段MN在运动的过程中，四边形MNQP的面积为S，运动的时间为t．求四边形

C Q

1 / 6



P A M

N

B


MNQP的面积S随运动时间t变化的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．

解：（1）过点C作CD

AB，垂足为D．则AD2，

当MN运动到被CD垂直平分时，四边形MNQP是矩形，即AM

3

时， 2

四边形MNQP是矩形，t

3

秒时，四边形MNQP是矩形． 2

P

C Q

PMAMtan60°=

333，S四边形MNQP322

13

(PMQN·)MN3t

22

A

（2）1°当0t

1时，S四边形MNQP

M

C

N P

Q

B

2°当1≤t≤2时，S四边形MNQP

3°当2t3时，S四边形MNQP

13

(PMQN·)MN3 2217(PMQN·)MN3t3 22

A

M

N B

点评：此题关键也是对P、Q两点的不同位置进行分类。

例6：（2009四川乐山）．如图（15），在梯形的坡度i

动点P从A出发以3∶4，

ABCD中，DC∥AB，A90°，AD6厘米，DC4厘米，BC

AB方向向点B运动，动点Q从点B出发以

3厘米/秒的速度沿

2厘米/秒的速度沿

BCD方向向点D运动，两个动点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动D

点也随之停止．设动点运动的时间为t秒．

（1）求边BC的长；

（2）当t为何值时，PC与BQ相互平分；

C

Q

B

图（3）

A

（3）连结PQ，设△PBQ的面积为大值？最大值是多少？ 6. 解：（1）作CE

探求y与t的函数关系式，求t为何值时，y有最y，

PE

AB于点E，如图（3）所示，则四边形AECD为矩形．

∶4，又i3AECD4，CEDA6．

在Rt△CEB中，由勾股定理得：BC

CE3

． EB8，AB12．EB4

2分

CE2EB210．

（2）假设PC与BQ相互平分．由DC∥AB，则PBCQ是平行四边形（此时Q在CD上）． ·············

即CQBP，3t10122t．解得t

2222

，即t秒时，PC与BQ相互平分． 55

（3）①当Q在BC上，即0≤t≤

10

时，作QFAB于F，则CE∥QF． 3

2 / 6






QFBQQF3t9t119t981

S△PBQPB·QF(122t·)=(t3)2．，．QF．即

225CEBC610555

3秒时，S△PBQ有最大值为



当t

81

厘米2． 5

②当Q在CD上，即

101411

·CE(122t)6=366t．≤t≤时，S△PBQPB 2233



1010

616厘米2．秒时，S△PBQ有最大值为36

33

易知S随t的增大而减小．故当t

925410

tt，0≤t55381

16，y 514106t36．≤t≤33

综上，当t

3时，S△PBQ有最大值为

81

厘米2． 5

AC10厘米，BC8厘米，点D为AB的

A

二、利用函数与方程的思想和方法将所解决图形的性质（或所求图形面积）直接转化为函数或方程。 例7：（包头）如图，已知△ABC中，AB中点．

（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．

①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；

D

Q

P

C

B

②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？

（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？

解：（1）①∵t∵

1秒，∴BPCQ313厘米，

AB10厘米，点D为AB的中点，∴BD5厘米．

又∵PCBCBP，BC8厘米，∴PC835厘米，∴PCBD．

又∵

ABAC，∴BC，∴△BPD≌△CQP． vQ， ∴BPCQ，

②∵vP

又∵△BPD≌△CQP，BC，则BP∴点P，点Q运动的时间t

PC4，CQBD5，



BP4CQ515

秒，∴vQ厘米/秒．

4433t

3

1580x3x210，解得x秒．

34

3 / 6

（2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，由题意，得

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