全国大学生数学竞赛初试

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全国大学生数学竞赛初试

第十二届全国大学生数学竞赛初赛试卷 (数学类A卷，2020年11月28日) 一、解答题1(15分)

设N(0,0,1)是球面S:x2+y2+z2=1的北极

点.A(ar,a2,0),B(br,b2,0),C(e),C2,0)为xOy平面上不同的三点.设连接N与A,B,C的三直线依次交球面S于点A1,B1,C.

(1)求连接N与A两点的直线方程; (2)求点A1,B与C的坐标:

(3)给定点A(1,-1,0),B(-1,1,0),C(1,1,0),求四面体NA BC的体积. 二、解答题2(15分) lnn求极限:lim

n-mn(12020+2020+..+n2020) 三解答题3(15分)

设A,B均为2020阶正交矩阵，齐次线性方程组Ax=Bx(x∈R2020)的解空间维数为3.问:矩阵A,B是否可能相似?证明你的结论.

四、解答题4(20分)

称非常值一元n次多项式(合并同类项后)的n-1次项(可能为0)为第二项.求所有2020次复系数首一多项式f(x),满足对f(x)的每个复根x。都存在非常值复系数首一多项式9k(x)和h2(x),使得f(x)=(x-xo)9e(x)h2(x),且g(x)与he(x)的第二项系数相等.

五、解答题5(15分)






设4是R上严格单调增加的连续函数,ψ是s的反函数,实数列{x。}满足证明{x)收敛或举例说明{x}有可能发散.

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