周期函数注意点以及常见抽象函数周期性证明

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周期函数

一、周期函数的定义

1、 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数时，都有．．．．T，使得当x取定义域内的每一个值．．．．

f(xT)f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。

注意：

① 定义域：对于任何函数，都需要明确其定义域，对于周期函数来说，其定义域必为至少一端无界的集合。 理由：设周期为T,由周期函数的定义知f(x+T)=f(x),易得f(x+nT)=f(x) (其中n是整数),即x+nT也在定义域内,故周期函数定义域必是无界集。 例题：ysinx(0x10)是周期函数吗？ ② 变的只能是x

是周期函数，则38)T的变化只能发生在x上。例如f(x)sin(x

f(xT)sin[3(xT)8]，不能写成f(xT)sin(3xT8)。

xxx

例题：sin2sin，那么2是sin()的周期吗？

333

③ 图像为周期波动的函数不一定是周期函数，要观察定义域。 例如：f(x)x[x]（3x3）（[x]是取整函数，表示不超过x的最大整数），该函数的图像如下所示，该图像重复出现，但是因为其定义域两端都有界，所以其必不为周期函数。



二、 周期函数问题的相关题型及解答。

核心：所有周期函数的问题，核心在求出周期T，即将题目里各种f(x)的等式往f(xT)f(x)方向化简。

化简过程中需要注意的相关函数概念：化简过程中要注意f(x)本身的对称性和奇偶性。

三、抽象函数的周期总结

1. f(x)f(xT)型：f(x)的周期为T。

证明：对x取定义域内的每一个值时，都有f(xT)f(x)，则f(x)为周期函数，T叫函数f(x)的周期。

2. f(xa)f(xb)型：f(x)的周期为|ba|。

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证明：f(xa)f(xb)f(x)f(xba)。 3. f(xa)f(x)型：f(x)的周期为2a。

证明：f(x2a)f[(xa)a]f(xa)[f(x)]f(x)

4. f(xa)

1

型：f(x)的周期为2a。 f(x)

1



f(xa)

1

f(x)。 1

f(x)

证明：f(x2a)f[(xa)a]

5. f(xa)

1

型：f(x)的周期为2a。 f(x)

1



f(xa)

1

f(x)。 1f(x)

证明：f(x2a)f[(xa)a]

6. f(xa)

1f(x)

型：f(x)的周期为4a。

1f(x)

111f(xa)证明：f(x2a)f[(xa)a]

1f(xa)11

1

1

∴f(x4a)f[(x2a)2a]

f(x)

1f(x)， f(x)f(x)f(x)

1



f(x2a)

1

f(x)。 1

f(x)

7.f(xa)

1f(x)

yf(x)的周期为T2a

1f(x)

f(x)f(x)

f(x)。 f(x)f(x)

1

1f(xa)1

证明：f(x2a)f[(xa)a]=

11f(xa)11

1

8、f(xa)

1

yf(x)的周期为T3a

f(x)1

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