2017年春中考数学总复习 第三单元 函数 第13讲 二次函数的综合应用试题

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第 13 讲 二次函数的综合应用



1．生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产．现有一生产季节性产品的企业，其一年中获得的 利润 y 和月份 n 之间的函数关系式为 y＝－n2＋14n－24，则该企业一年中利润最高的月份是( C ) A．5 月 B．6 月 C．7 月 D．8 月

2．某种商品每件进价为 20 元，调查表明：在某段时间内若以每件 x 元(20≤x≤30，且 x 为整数)出售，可卖出(30 －x)件．若使利润最大，每件的售价应为 25 元．



3．如图是我省某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于 A，B 两点，桥拱最高点 C 到 AB 的 距离为 9 m，AB＝36 m，D，E 为桥拱底部的两点，且 DE∥AB，点 E 到直线 AB 的距离为 7 m，则 DE 的长为 48m. 4．便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润 y(元)与每件销售价 x(元)之间的关系满足 y＝－2x2＋80x ＋750，由于某种原因，售价只能满足 15≤x≤22，那么一周可获得的最大利润是 1_550 元．

5．(2016·台州)竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数．小军相隔 1 秒依次竖直向上抛出两个小球．假 设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后 1.1 秒时到达相同的最大离地高度．第一个小球抛出后t 秒时在空 中与第二个小球的离地高度相同，则 t＝1.6．

6．某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体，抽屉底面周长为 180 cm，高为 20 cm.请通过计 算说明，当底面的宽 x 为何值时，抽屉的体积 y 最大？最大为多少？(材质及其厚度等暂忽略不计)



180

解：根据题意，得 y＝20x( －x)，

2

整理，得 y＝－20x2＋1 800x.

∵y＝－20x2＋1 800x＝－20(x－45)2＋40 500， ∵－20＜0，

∴当 x＝45 时，函数有最大值，y 最大＝40 500，即当底面的宽为 45 cm 时，抽屉的体积最大，最大为 40 500 cm3.



7．(2015·随州)如图，某足球运动员站在点 O 处练习射门，将足球从离地面 0.5 m 的 A 处正对球门踢出(点 A 在 y 轴上)，足球的飞行高度 y(单位：m)与飞行时间 t(单位：s)之间 满足函数关系 y＝at2＋5t＋c.已知足球飞行 0.8 s 时，离地面的高度为 3.5 m.

(1)足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？

(2)若足球飞行的水平距离 x(单位：m)与飞行时间 t(单位：s)之间具有函数关系 x＝10t.已知球门的高度为 2.44 m， 如果该运动员正对球门 射门时，离球门的水平距离为 28 m，他能否将球直接射入球门？



解：(1)将(0，0.5)和(0.8，3.5)代入 y＝at2＋5t＋c，

 25

c＝0.5，a＝－ ， 

16 得 解得

0.82a＋5×0.8＋c＝3.5.

c＝0.5.



25 25 8

∴y＝－ t2＋5t＋0.5＝－ (t－ )2＋4.5.

16 16 5

∴足球飞行的时间是 1.6 秒时，足球离地面最高，最大高度是 4.5 米．

(2)当 x＝28 时，28＝10t，∴t＝2.8.



25 196

当 t＝2.8 时，y＝－ × ＋5×2.8＋0.5＝2.25.

16 25






∵0＜2.25＜2.44，∴他能将球直接射入球门．



8．(2016·鄂州)某宾馆有 50 个房间供游客居住，当每个房间定价为 120 元时，房间会全部住满，当每个房间每天 的定价每增加 10 元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出 20 元的各种费用， 设每个房间定价增加 10x 元(x 为整数)．

(1)直接写出每天游客居住的房间数量 y 与 x 的函数关系式；

(2)设宾馆每天的利润为 w 元，当每间房价定价为多少元时，宾馆每天所获利润最大，最大利润是多少？

(3)某日，宾馆了解当天的住宿的情况，得到以下信息：①当日所获利润不低于 5 000 元；②宾馆为游客居住的房 间共支出费用没有超过 600 元；③每个房间刚好住满 2 人．问：这天宾馆入住的游客最少有多少人？ 解：(1)y＝－x＋50.

(2 )w＝(－x＋50)(10x＋100)＝－10(x－20)2＋9 000.

所以当 x＝20，即每间房价定价为 10×20＋120＝320 元时，每天利润最大，最大利润为 9 000 元． (3)由－10(x－20)2＋9 000≥5 000，得 0≤x≤40. 由 20(－x＋50)≤600，得 x≥20. 所以 x 的取值应满足 20≤x≤40.

故当 x＝40 时，这天宾馆入 住的游客人数最少，为 2(－x＋50)＝2(－40＋50)＝20(人)． 答：这天宾馆入住的游客最少有 20 人．



9．(2016·扬州)某电商销售一款夏季时装，进价 40 元/ 件，售价 110 元/件，每天销售 20 件，每销售一件需缴纳 电商平台推广费用 a 元(a＞0)．未来 30 天，这款时装将开展“每天降价 1 元”的夏令促销活动，即从第 1 天起每 天的单价均 比前一天降 1 元．通过市场调研发现，该时装单价每降 1 元，每天销量增加 4 件．在这 30 天内，要使 每天缴 纳电商平台推广费用后的利润随天数 t(t 为正整数)的增大而增大，a 的取值范围应为 0＜a≤5．

10．九(1)班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第 x(1≤x ≤90)天的售价与销量的相关信息如下表：



时间 x(天) 售价(元/件)





1≤x＜50



50≤x≤90



每天销量(件)



x＋40 200－2x



90

已知该商品的进价为每件 30 元，设销售该商品的每天利润为 y 元． (1)求 y 与 x 的函数关系式；

(2)问销售该商品第几天时，每天销售利润最大，最大利润是多少？

(3)该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于 4 800 元？请直接写出结果．



2＋180x＋2000（1≤x<50）－2x，  

解：(1)y＝

 －120x＋12 000（50≤x≤90）.



(2)当 1≤x<50 时，

y＝－2 x2＋180x＋2 000＝－2(x－45)2＋6 050. ∵－2<0，

∴当 x＝45 时，y 有最大值，最大值为 6 050. 当 50≤x≤90 时，y＝－120x＋12 000. ∵－120<0，∴y 随 x 的增大而减少．

∴当 x＝50 时，y 有最大值，最大值为 6 000.

∴销售该商品第 45 天时，每天销售利润最大，最大利润为 6 050 元． (3)41 天．



11．(2016·永州)如图，已知抛物线 y＝ax2＋bx－3 经过(－1，0)，(3，0)两点，与 y 轴交于点 C，直线 y＝kx 与 抛物线交于 A，B 两点．

(1)写出点 C 的坐标并求出此抛物线的解析式；






(2)当原点 O 为线段 AB 的中点时，求 k 的值及 A，B 两点的坐标；



3 10

(3)是否存在实数 k 使得△ABC 的面积为 ？若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由．



2



解：(1)令抛物线 y＝ax2＋bx－3 中 x＝0，得 y＝－3， ∴C(0，－3)．

∵抛物线 y＝ax2＋bx－3 经过(－1，0)，(3，0)两点，



0＝a－b－3，∴

 0＝9a＋3b－3.

解得a＝1，

 b＝－2.

∴此抛物线的解析式为 y＝x2－2x－3. (2)设 A(xA，yA)，B(xB，yB)．

由题意得 kx＝x2－2x－3，即 x2－(2＋k)x－3＝0， ∴xA＋xB＝2＋k，xA·xB＝－3. ∵原点 O 为线段 AB 的中点，

∴xA＋xB＝2＋k＝0.解得 k＝－2.

当 k＝－2 时，x2－(2＋k)x－3＝x2－3＝0， 解得 xA＝－ 3，xB＝ 3.

∴yA＝－2xA＝2 3，yB＝－2xB＝－2 3.

∴当原点 O 为线段 AB 的中点时，k 的值为－2，点 A 的坐标为(－ 3，2 3)，点(3)不存在．理由如下：假设存在这样的实数 k， 由(2)可知：xA＋xB＝2＋k，xA·xB＝－3， 1

△S ABC＝2OC·|xA－xB|



＝1

2× 3× （x2A＋xB）－4xA·xB



＝3

2（2＋k）2 ＋12

＝3 10 2

，

∴(2＋k)2＋12＝10，即(2＋k)2＋2＝0. ∵(2＋k)2＋2≥2≠0，无解， ∴假设不成立．



∴不存在实数 k 使得△ABC 的面积为3 10

2

.

B 的坐标为( 3，－2 3)．

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