一题多解之五种方法解一道经典数学题

【#文档大全网# 导语】以下是®文档大全网的小编为您整理的《一题多解之五种方法解一道经典数学题》，欢迎阅读！

范文大全 - 让每个人平等地提升自我

一题多解之五种方法解一道经典数学题

江苏海安紫石中学 黄本华

一题多解是我们学习数学的特好方法！通过一题多解，我们可以多角度、多方位地去思考解题的方案，这样不仅能加强知识间的联系，同时也增添新颖性和趣味性，优化我们的思维结构，提升我们的思维能力。更重要的是，一题多解让我们不仅只满足解题目标的实现，而是让我们拥有了研究学问的态度！

例题 如图，在平面直角坐标系中，点A(－1，0)，B(0，3)，直线BC交坐标轴于B，

C两点，且∠CBA＝45°.求直线BC的解析式．



【分析】要求BC解析式，现在已经知道了B点坐标，所以只要求到C点坐标就好了。这就要用到条件∠CBA＝45°。但这个条件如何用呢？这是本题的难点，也是关键点。考虑到这个角是45°，我们可以尝试做垂线，构造等腰直角三角形。如图①，作AD⊥BC于D，由A、B的坐标可知OA1，OB3，根据勾股定理ABOAOB10，

2

2

BDAD5，设ACx，则OCx1，DCx25，BCx255，在

222

根据勾股定理得出OC2OB2BC2，即x13(x55)，RTOBC中，

2

解得x1

5

（舍去），x25，求得OC6，得出C（﹣6，0），然后根据待定系数法即2

可求得BC的解析式．

解法一：如图①，作AD⊥BC于D， ∵点A（﹣1，0），B（0，3），

∴OA1，OB3，∴ABOAOB10， ∵∠CBA=45°，∴△ABD是等腰直角三角形， ∴BDAD5，

C

设ACx，则OCx1， ∴DC在x1

①



A O D

2

2

B

x25，∴BC=

+BC

x255，

252222222

中，OCOBBC，即x13(x55)）， 2

解得x1=﹣

（舍去），x25，

1


范文大全 - 让每个人平等地提升自我

∴AC5，OC6，∴C（﹣6，0）， 设直线BC的解析式为ykx3， 解得k

11

，∴直线BC的解析式为yx3． 22

【点评】虽然这种解法思路比较清晰，但是用勾股定理得出的方程比较复杂，解方程很繁，很费时，很累。当我们作ADBC时，我们应该想到求出D点坐标不也可以吗？根据

ABD是等腰直角三角形，我们很容易构造K型全等形AEDDFB，如图②，从而求

出D点坐标。

解法二：作AD⊥BC于D，DEOC于E

BFDE于F，如图②

易证AEDDFB，设AEx， 则DEFBx1，FDOA1

D

F

B

x113，x1，D(2,2)

设直线BC的解析式为ykx3，

C

2k32，解得k

1 2

1

x3． 2

E A ②

O

∴∴直线BC的解析式为y

【点评】比较方法一和方法二，方法二计算量显然比解法一要少很多了。

进一步探索：我们如果如图③构造等腰直角三角形和K型全等型ADEBOA，是不是更容易求出点的坐标呢？我们会惊喜地发现D点坐标几乎不用计算，就可以求出。

解法三：ADAB交BC于D，DEOC于E 易证：ADEBOA，

DE=OA=1， AE=OB3，

D(4，1）

D

设直线BC的解析式为ykx3，

C

E

A ③



O

B

1

4k31，k

2

∴∴直线BC的解析式为y

1

x3． 2

【点评】显然，解法三又比前两种解法简便多了。但是我们不容易想到解法三的原因是：过点A只习惯作BC的垂线，而不习惯作AB的垂线。因此，我们只有通过一题多解的训练，才能拓展我们的思维，克服定势思维。

继续探究：如果我们过C点作AB的垂线，构造等腰BCD，如图④，可以做吗？

2

本文来源：https://www.wddqxz.cn/0a3a725e824d2b160b4e767f5acfa1c7aa008245.html