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对一道经典数学题的多角度思考
何为数学经典题目？数学经典题目就是经过历史选择出来的最有价值的经久不衰的题目 。每个经典题目，都经得起人们的拷问和时间的考验；每个经典题目，总是蕴含着某种重要的数学思想和方法；每个经典题目，总有其独特的教育价值和教学功能；每个经典题目，都能穿越时间的深度和厚度而又最终超越时间经久弥新、与时俱进。数学教科书上的例习题有不少题目堪当经典，本文以其中一道经典题目为例，说明经典题目在复习教学中的潜能挖掘与应用，以期抛砖引玉。
题目 已知，且，求证。
不等式选讲人教
版第十页习
本题目是普通高中课程标准实验教科书数学选修题
第11题。这是一道经典的条件不等式证明题，解题入口宽、方法多样，对本题进行一
题多解训练，可达到举一反三触类旁通，解读一题沟通一片以点带面的复习效果。
证法1（配方法）因为所以
，所以
，
，
所以
时等号成立。
，当且仅当且且，即
点评 本解法先消元，将表示成只含的二次式，并将此式当作是以为
主元的二次三项式进行配方，再将配方后余下的部分再次配方，然后用实数平方的非负性，
从而使问题得到解决。
证法2（构造二次函数）因为于是
，所以
，
，
故当时，最小，此时，
所以，
所以，当且仅当时等号成立。
点评 本解法通过构造函数将不等式证明问题转化为函数的最值问题。先消元
表示成只含
，将
的二次式，然后选为主元，将此式当作是含有参数的以为
自变量的二次函数值就是
，求出的最小值，的最小
的最小值，从而使问题获解。
，
证法3（用重要不等式）因为
所以，当且仅当时等号成立。
点评 将已知等式两边平方是运用重要不等式的关键。
证法4（用等号成立的条件构造平方和）由所证不等式等号成立的条件得，
，
即，所以，当且仅当
时等号成立。
证法5（用等号成立的条件构造配偶不等式）由所证不等式等号成立的条件可构造如
下不等式：，，，三式相加得，
，所以
号成立。
，当且仅当时等
点评 证法4和证法5注意到等号成立的条件在。
证法
是问题获得简解的关键之所
6（用柯西不等式）由三元柯西不等式得
，即
1
。
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2022-11-02
