平面向量知识点归纳

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平面向量

一．向量有关概念：

1．向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。如：

2．零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的； 3．单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与

AB共线的单位向量是AB

)；

|AB|

4．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；

5．平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，记作：a∥b，规定零向量和任何向量平行。 提醒：

①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；

②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；

③平行向量无传递性！（因为有0)； ④三点

AC共线； A、B、C共线AB、

（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若ab，则ab。

6．相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是－a。如 下列命题：（1）若

则ABCD是平行四边形。（4）若ABCD是平行四边形，则ABDC。（5）若ab,bc，则ac。ABDC，

（6）若a//b,b//c，则a//c。其中正确的是_______（答：（4）（5））

二．向量的表示方法：

AB，注意起点在前，终点在后；

2．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a，b，c等；

3．坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i

1．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如

任一向量a可表示为a

如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。

，

j为基底，则平面内的

称x,y为向量a的坐标，a＝x,y叫做向量a的坐标表示。xiyjx,y，



三．平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有

一对实数1、2，使a=1e1＋2e2。如 （1）若a(1,1),b

13

(1,1),c(1,2)，则c______（答：ab）；

22

（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 A. C.

e1(0,0),e2(1,2) B. e1(1,2),e2(5,7)

13

e1(3,5),e2(6,10) D. e1(2,3),e2(,)

24

（答：B）；

（3）已知AD,BE分别是ABC的边BC,AC上的中线,且

ADa,BEb,则BC可用向量a,b表示为24

_____（答：ab）；

33









（4）已知ABC中，点D在BC边上，且CD四．实数与向量的积：实数



2DB，CDrABsAC，则rs的值是___

（答：0）



a，它的长度和方向规定如下：

1aa,2当>0时，a的方向与a的方向相同，当<0时，a的方向与a的方向相反，



与向量

a

的积是一个向量，记作

当＝0时，a

0，注意：a≠0。

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五．平面向量的数量积：

1．两个向量的夹角：对于非零向量a，b，作OA

a,OBb，AOB

0称为向量a，b的夹角，当＝0时，a，b同向，当＝时，a，b反向，当＝

b垂直。



时，a，2

2．平面向量的数量积：如果两个非零向量a，b，它们的夹角为，我们把数量|a||b|cos叫做a与b的数量积（或内积或点积），记作：a

•b，即a•b＝abcos

。规定：零向量与任一向量的数量积是0，注

意数量积是一个实数，不再是一个向量。如

（1）已知a(1,

11

),b(0,),cakb,dab，c与d的夹角为，则k等于____ 224

（答：1）；

（2）已知

a2,b5,ab3，则ab等于____

（答：

23）；

（3）已知a,b是两个非零向量，且abab，则a与ab的夹角为____

（答：30）

3．b在a上的投影为|b|cos，它是一个实数，但不一定大于0。如 已知|4．a



a|3，|b|5，且ab12，则向量a在向量b上的投影为______（答：•b的几何意义：数量积a•b等于a的模|a|与b在a上的投影的积。



12

） 5

5．向量数量积的性质：设两个非零向量a，b，其夹角为，则： ①a

ba•b0；

•b＝ab

，特别地，a

2

②当a，b同向时，a－

a•aa,aa





22

；当a与b反向时，a•b＝

ab；③非零向量a，b夹角的计算公式：cos





a•bab

；④|a•b||a||b|。如

（1）已知a

(,2)，b(3,2)，如果a与b的夹角为锐角，则的取值范围是______

41

（答：或0且）；

33





六．向量的运算：

1．几何运算：

①向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设

ABa,BCb

，那么向量

AC

叫做

a

与

b

的和，即

abABBCAC；

②向量的减法：用“三角形法则”：设

ABa,ACb,那么abABACCA，由减向量的终点

指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。如

（1）化简：①ABBCCD___；②ABADDC____；③(ABCD)(ACBD)_____

（答：①

（2）若正方形ABCD的边长为1，

AD；②CB；③0）；

（答：2

ABa,BCb,ACc，则|abc|＝_____

2）；





2．坐标运算：设a(x1,y1),b(x2,y2)，则： ①向量的加减法运算：ab(x1x2，

y1y2)。如

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