【#文档大全网# 导语】以下是®文档大全网的小编为您整理的《【考题20】 设A、B分别为椭圆的左、右顶点,椭圆长半轴的长等于焦距》，欢迎阅读！
九头鸟解评——
湖北卷理科数学（10）
【前言】 解析几何年年都有一个大题出现，今年是椭圆，看起来是一道常规题，但对运算
能力的要求非常高，尤其是第（Ⅱ）问，可用多种方法来解它，无论解法如何，恐怕都难逃准确计算这一关.
x2y2
【考题20】 设A、B分别为椭圆221(a,b0)的左、右顶点，椭圆长半轴的长等．．．
ab
于焦距，且x=4为它的右准线.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
(Ⅱ)设P为右准线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线AP、BP分别与椭圆相交于异于A、B的点M、N，证明点B在以MN为直径的圆内. （此题不要求在答题卡上画图）
【分析1】 题目虽然不要求画图，但我们在做题时， 是要做到心中有图的，不妨把它画出来.如图（1）.
【解答1】 （Ⅰ）依题意得
a2c,
a2,2
解得从而b3， a4,c1.c
故椭圆方程为
xy1. 43
22
图（1）
【分析2】 由平面几何知识，直径所对的圆周角为90°,
如图（2），即∠MQ1N=90°,那么圆内的点Q与直径的连线 所组成的角∠MQN>90°,而圆外的点Q2与直径MN的连线 所成的角MQ2N所成的∠MQ2N<90°.
【解答2】 (Ⅱ)由（Ⅰ）得A（-2，0），B（2，0）.设M（x0,y0）. ∵M点在椭圆上， ∴y0
2
32(4x0). ① 4
又M点异于顶点A、B，∴-20<2. 由P、A、M三点共线可得P（4，
图（2）
6y0
）.
x02
从而BM=(x0-2,y0),BP(2,
6y0
). x02
26y022
BP2x04(x043y0) ② ∴BM·
x02x02
BP将①式代入②式化简得BM·
5
(2x0). 2
∵2-x0>0,∴BM·BP>0.于是∠MBP为锐角，从而∠MBN为钝角，故点B在以MN为直径的圆内.
【分析3】 在解答2的思想方法启发下，不用向量工具，情况如何呢？
【解答3】由（Ⅰ）得A（-2，0），B（2，0）. 设P（4，λ)(λ≠0),M(x1,y1),N(x2,y2). 则直线AP的方程为y=
(x+2),直线BP的方程为y=(x-2). 62
∵点M、N分别在直线AP、BP上，
2
∴y1=(x1+2),y2=(x2-2),从而y1y2=(x1+2)(x2+2) ③
6212
y(x2),6联立 消去y得（27+λ2）x2+4λ2x+4(λ2-27)=0.
22
xy1.34
∵x1,-2是方程的两根，∴（-2）·x1=
4(227)27
2
,即x1
2(272)27
2
④
又BM··（x2-2,y2）=(x1-2)(x2-2)+y1y2 ⑤ BN=（x1-2,y1）于是由③、④式代入⑤式化简可得BM·BN∵N点在椭圆上，且异于顶点A、B， ∴x2-2<0,又∵λ≠0,∴
5227
2
(x2-2).
5227
2
>0,从而BM·BN<0
故∠MBN为钝角，即点B在以MN为直径的圆内.
【分析4】 设而不求是解析几何常用的方法，本题也不例外，运用“点到圆心的距离小于半径，则点在圆内”判断.
【解答4】由(Ⅰ)得A（-2，0），B（2，0）.设M(x1,y1),N (x2,y2). 则-21<2,-22<2.
xx2y1y2
又MN的中点Q的坐标为1,，
2
2
11xx2yy222
2,1∴|BQ|2-|MN|2=1(x1x2)(y1y2).
4422
化简得|BQ|2-2
2
1
|MN|2=（x1-2）(x2-2)+y1y2 ⑥ 4
直线AP的方程为y=
y1y2
(x2),直线BP的方程为y=(x2). x12x22
∵点P在准线x=4上， ∴
6y12y23(x22)y1
⑦ ,即y2
x12x22x12
22
x1y1322
又∵M点在椭圆上，∴1,即y1(4x1) ⑧
434
于是将⑦、⑧式代入化简可得|BQ|2-
15
|MN|2=（2-x1）(x2-2)<0. 44
从而B在以MN为直径的圆内.
【点评】 本题的考点常规，但所用的思想方法不一定常见. 第（Ⅰ）问一般考生都能得分，可第（Ⅱ）问就是有区分度了.解法1用的是向量的方法，简单易懂，但不容易想到；解法2与解法1是一样的思想，只是少了向量这一工具，计算复杂了一些；解法3可能是大众考生的想法，用此法，对计算能力的要求很高.
作为“压轴题”的第20题，设计上应该有这样的梯度，否则就难以得到相应的区分度.
本文来源：https://www.wddqxz.cn/295f0baebad528ea81c758f5f61fb7360b4c2b6e.html
2022-04-18
