椭圆焦长以及焦比问题

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椭圆焦长以及焦比问题



x2a

2

4a体:过椭圆

周长是4a；



y2b

2

1ab0的左焦点F1的弦AB与右焦点F2围成的三角形ABF2的

焦长公式：A是椭圆

x2a

2



y2b

2

右焦点，AF1F2为，AB1ab0上一点，F1、F2是左、

b2b2过F1，c是椭圆半焦距，则（1）AF1；（2）BF1；（3）

accosaccosAB

2ab2a2c2cos2

． ：

SABF2

ABh2

12ab22ab2csin22csin22ac2cos2ac2cos2

4a

体面ABh22

积，

SACB

ab2csin

． 2

22

accos

AF2

2a;BF1

BF2

2a，故AB

AF2

BF2

4a；

证明：（1）如图所示，AF1（2）设AF1m

2

m;BF12am

2

n;AF22m

2am;BF2

2an;由余弦定理得

y A

2c

2

2ccos；整理得AF1

b2



accos

b



accos

2

F1 B

O

F2

n

2

2c

2

2an

2

2n2ccos180

；整理得BF1

x

则过焦点的弦长AB

x2

mny2

a2

2ab2c2cos2

b2

2ab2c2sin2

.（焦长公式）

b2b2

焦比定理：过椭圆221的左焦点F1的弦AF1，BF1，

accosaccosab

2ab2b2b21

AFFB令，即，代入弦长AB2ecos11

accosaccos1ac2cos2

公式可得AF1

1b22a

．

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