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【金版学案】2014-2015学年高中数学 三个正数的算术—几何平均
不等式同步检测试题 新人教A版选修4-5
一层练习
12
1．函数y＝x(1－5x)(0≤x≤)的最大值是( )
5
245
A．4 B. C. D.
156752
答案：C
9
2．若x>0，则4x＋2的最小值是( )
x
3
A．9 B．336 C．13 D．不存在
答案：B
3．已知a.b.c∈R则(＋＋)(＋＋)≥________.
答案：9
＋2
4．设a，b∈R，且a＋b＝3，则ab的最大值是________．
答案：4
5．已知a，b，c为正数，求证：
222
(a＋b＋c)(a＋b＋c)≥9abc.
证明：∵a，b，c为正数，
33222222
∴a＋b＋c≥3abc，a＋b＋c≥3abc 33222222
∴(a＋b＋c)(a＋b＋c)≥3abc×3abc 3222
＝9abc×abc.
222
∴(a＋b＋c)(a＋b＋c)≥9abc， 当且仅当a＝b＝c时等号成立．
1 / 4
＋
abcbcabcaabc
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二层练习
6．若实数x，y满足xy＞0，且xy＝2，则xy＋x的最小值是( ) A．1 B．2 C．3 D．4
答案：C
4
7．求函数y＝3x＋2(x>0)的最值．
2
2
x
解析：∵x>0，
333x3x43x3x43x3x4293
∴y＝3x＋2＝＋＋2≥3××2＝39.当且仅当＝＝2，即x＝时
x22x22x22x3
取符号．
4
3293
∴当x＝时，函数y的最小值为39.
3
三层练习
8．θ为锐角，求y＝sin θ·cosθ的最大值．
22
分析：本题的目标函数为积结构，故应创设各因子和为定值，要特别注意sinθ＋cosθ＝1的应用．
2222
解析：∵y＝sinθcosθcosθ
1222
＝×2sinθ(1－sinθ)(1－sinθ)
2
1234 ≤()＝.
2327
当且仅当2sinθ＝1－sinθ，即sin θ＝
2
2
2
3
时取等号． 3
23
∴ymax＝.
9
2
9．已知正数a，b满足ab＝1，求a＋b的最小值．
2
解析：因为a，b是正数，ab＝1， 3ab233
所以a＋b＝a＋＋≥3＝2.
2242
bb
33
故a＋b的最小值是2，
2
2 / 4
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ab＝1，
当且仅当b
a＝，2
2
13a＝22，
即b＝32
时取到最小值．
1112222
10．已知a，b，c均为正数，证明：a＋b＋c＋＋＋≥63，并确定a，b，c为
abc
何值时，等号成立．
证明：因为a，b，c均为正数，由均值不等式得
2
a2＋b2＋c2≥3(abc)，①
3
1111＋＋≥3(abc)－， abc3
21112
所以＋＋≥9(abc)－.②
3abc
221112222
故a＋b＋c＋＋＋≥3(abc)＋9(abc)－.
33abc
22
又3(abc)＋9(abc)－≥227＝63，③
33
所以原不等式成立．
当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立．
22
当且仅当3(abc)＝9(abc)－时，③式等号成立．
33
1
故当且仅当a＝b＝c＝3时，原不等式等号成立．
4
11．请你设计一个帐篷，它下部的形状是高为1 m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3 m的正六棱锥(如下图所示)．试问当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为多少时，帐篷的体积最大为多少？
分析：利用正六棱锥的体积公式列关系式，然后利用算术－几何平均不等式求最值，也可求导求最值．
22
解析：设OO1为x m，则1＜x＜4.由题设可得正六棱锥底面边长为3－x－1＝
3332222
8＋2x－x，于是底面正六边形的面积为6××(8＋2x－x)＝(8＋2x－x)，帐篷
42
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2022-05-20
