郑州大学2004年攻读硕士学位研究生入学试题数学分析

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郑州大学2004年攻读硕士学位研究生入学试题

专业：基础教学、应用数学、计算数学与控制论与运筹科目：数学分析

一、完成下列各题（每题10分，共30分） 1．叙述

的定义，并证明

在x0=1处左连续。

2．试证：当x>0时，sinx>x-

3.设为可导函数，且

二、完成下列各题（每题12分，共60分） 1．叙述Riemann积分的定义，并求极限2. 验证：方程

，并求

试求极限

在（0，0）在某领域内存在连续可导的隐函数

3．设试证：（1）（2）4．如图所示，曲线

在（0,0）处的两个偏导数都存在，但不连续；在（0,0）处可微。

在[0,1]上的一段与x轴的直线AB交于C，C点的横坐标为

。问为何值时，阴影部分的面积S最小？并求出最小值。

5．设S为任一光滑的闭曲面，Is=

其中，

为S

的外法向的方向余弦，r= 试证：（1）当原点在S外部时，Is=0；(2)原点在S内部时，Is=4

三、下列各题任选做四个题，（每题15分，共计60分） 1．设

在

上一致连续，在

上一致连续；

换成条件

时，结论不一定成立。内可导，

，则存在

使

上也一致连续。

（1）试证

（2）举例说明将条件2．设

在

3．设4．（1）设

在

在

上连续，在

内收敛，且每个

试证：存在，并求其值。

发散，则

在b处左连续，如果

内非一致收敛。

在（0,1）上非一致收敛

（2）证明：

5．设是严格增加的连续函数，为其反函数，。试证

6．当p为何值时，

有唯一的实根？