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与三角形的内切圆有关的几个结论
郑建元 (浙江省余姚市实验学校 315400)
三角形与其内切圆是直线与圆位置关系的重要内容，运用切线、面积等知识可得到一些重要的结论，特别是当三角形是直角三角形时，结论尤为丰富．如果我们平时解题的时候，不满足于就题论题，而是向更深的层次去探究题目的内在规律．这样不仅可以培养创造思维能力，而且可以免受题海之困扰，从而大大提高学习效率．
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，△ABC的内心为O，⊙O与AB，BC，CA分别相切于D、E、F，⊙O的半径为r. 求证：r＝
abc
. 2
证明：连接OE，OF.
∵⊙O与AB，BC，CA分别相切于D、E、F， ∴∠OFC=∠OEC=90°，AD=AF，BD=BE，CF=CE． 又∵∠C=90°
∴四边形OECF是正方形， ∴CE=OE=r， ∴r =CE=
ACBCABabc
＝.
221
（a＋b＋c）－c，2r =a＋b－c， 2
于是我们得到结论：“直角三角形内切圆半径等于两直角边的和与斜边差的一半.” 由于r =CE=
于是上述结论又可叙述为：“直角三角形内切圆半径等于它的半周长与斜边的差.”或"直角三角形内切圆的直径等于两直角边的和与斜边的差.”
例２ 如图，在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，△ABC的内心为O，⊙O与AB，BC，CA分别相切于D、E、F，⊙O的半径为r. 求证：S△ABC＝
A
1
( a + b +c) r． 2
D
O
F
证明：连接OE、OF、OD、OA、OB、OC. ∵⊙O与AB，BC，CA分别相切于D、E、F， ∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，
B
1111
S△ABC＝S△BOC + S△AOC + S△AOB＝(a r +b r +c r)＝( a + b +c) r．
2222
于是我们得到结论：“三角形面积等于它的半周长与内切圆半径的积.
EC
由于r
2SABC
，
abc
所以又有结论：“三角形内切圆半径等于三角形的面积与半周长的商.” 特别是当三角形是直角三角形时，r
例3 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，△ABC的内心为O，⊙O与AB，BC，CA分别相切于D、E、F，⊙O的半径为r. 求证：S△ABC＝c r+r．
2
ab
.
abc
A
证明：连接OE、OF、OD、OA、OB、OC. ∵⊙O与AB，BC，CA分别相切于D、E、F，
∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，AD=AF，BD=BE，CF=CE． ∵∠OFC=∠OEC=∠C=90°，CF=CE， ∴四边形OECF是正方形， ∴CE=CF=OE=OF=r． ∵S△ABC＝又∵
D
O
F
111
( a + b +c) r =( a + b )r+c rB， 222
E
C
111112(a + b )r =(AF+FC +BE+EC) r=(AD+ r +BD+ r) r=(c+2r ) r =c r+r， 22222
2
∴S△ABC＝c r+r．
例4 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，△ABC的内心为O，⊙O与AB，BC，CA分别相切于D、E、F.
求证：SABC＝AD×BD．
证明：∵⊙O与AB，BC，CA分别相切于D、E、F， ∴AD=AF，BD=BE，CF=CE. 设BC＝a，AC＝b，AB＝c， 则AD=
D
O
A
F
bcaacb
，BD= 22
BE
C
bcaacba2b2c22ab
∴AD×BD=×=.
422
∵∠C=90°，
∴abc，SABC∴SABC＝AD×BD
2
2
2
1
ab 2
本文来源：https://www.wddqxz.cn/4a86422f01020740be1e650e52ea551810a6c983.html
2022-12-14
