4矩阵乘法的概念及其性质037

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江苏省常熟中学高二年级数学(理)导学案037 主备人：朱震

课题：复合变换与矩阵的乘法

【教学目标】

1． 熟练掌握二阶矩阵与二阶矩阵的乘法；

2． 理解两个矩阵相乘的结果还是矩阵，从几何变换角度，它表示的是原来两个矩阵对应

的连续两次变换；

3． 通过几何变换，理解一般情况下，矩阵乘法没有交换律，并了解矩阵乘法没有消去律； 4． 会验证矩阵乘法满足结合律． 【教学过程】

一．复合变换与矩阵的乘法

1．引例：对向量先做变换TM，对应的变换矩阵为M＝11

ay





x

a

a12x'

，得到向量，a22y'

21

再对向量

x

b11x'

先做变换，对应的变换矩阵为N＝TNy'b21

x''



b12x''

，得到向量，记把向b22y''

量变为向量的变换为T，求变换T所对应的矩阵．

yy''



2．定义：一般地，对于矩阵

a11a21

x

a11a21

a12b11

，a22b21

b12

，规定乘法法则如下： b22

a11b12a12b22

 a21b12a22b22

a12b11

a22b21b12a11b11a12b21



b22a21b11a22b21

对向量连续实施两次几何变换(先TM后TN)，相当于对其实施了矩阵NM对应的

y

M...M．几何变换．当对向量实施n(n＞1，且n∈N*)次变换TM，对应地我们记MnM 

n个M

1

2

例1 已知A＝

1211

22

，B＝11

2201

，B＝22



1

2

，计算AB． 12

例2 已知A＝





104

，计算AB，BA． 3

1


江苏省常熟中学高二年级数学(理)导学案037 主备人：朱震

例3 已知A＝

1001，B＝0001

，C＝100

，计算AB，AC． 2

3

2

例4 已知A＝

1212

，求A5． 32



二．矩阵乘法的简单性质

1．矩阵的乘法不具有交换律．应从复合变换的角度理解，请试着各举出一个例子，分别使得MN＝NM及MN≠NM．

2．矩阵的乘法满足结合律．ABC=ABC

3．矩阵的乘法不具有消去律．应从复合变换的角度理解，请试着举出一个例子，满足A0，AB=AC，但BC．

例5 证明下列等式成立，并从几何变换角度给予解释 (1)

1(2)

0

2110

1

10

0

11301

1． 0

10

01

00

0100

0100

0； 1







2


江苏省常熟中学高二年级数学(理)导学案037 主备人：朱震

例6 利用矩阵变换的几何意义，请你构造A、B使得AB＝01

，并给予几何解释． 00



【课堂练习】 1． 计算0112011

00

11

0 



2． 已知M＝1101



0

1，1

，计算MN，并从几何变换角度给予解释． 0





【课后作业】姓名___________________ 1． 已知A＝104

02，B＝123，求AB、BA． 



2． 已知A＝1100，B＝2

1A41，B10

0，求．



3． 求使等式2a1

0d2

b30c03成立的实数a、b、c、d的值． 





3


江苏省常熟中学高二年级数学(理)导学案037 主备人：朱震

4．已知变换T1对应的矩阵是A＝

2

0112

，变换对应的矩阵是B＝T2000

，求抛物线1

yx在变换T1和T2的先后连续作用下所得曲线的方程．





5．已知矩形ABCD，其中A(0,0)、B(2,0)、C(2,1)、D(0,1)．先将矩形绕原点按逆时针方向

旋转900，在将所得图形作关于y轴对称的反射变换． (1)求连续两次变换所对应的矩阵M； (2)求连续两次变换后所得图形的面积．

6． 已知变换T1对应的矩阵是A，变换T2对应的矩阵是B＝

变换T2的复合变换所对应的矩阵是

23

12

2

，若先做变换T1再做3

1

，求矩阵A． 1





7． 利用矩阵的几何意义，请你构造出满足下列条件的矩阵．

(1) 构造一个既不是零矩阵，也不是单位矩阵的矩阵F，使F2＝F成立； (2) 构造两个不同的矩阵A、B，使AB＝

00

2

1

成立； 00

0

成立． 0

(3) 构造一个不是零矩阵的矩阵M，使得M＝0

4

本文来源：https://www.wddqxz.cn/5280fc47bb4ae45c3b3567ec102de2bd9605de91.html