高三数学立体几何的难点突破3常见的补形法

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几种常见的补形法

1 四面体的补形法

【例1】 在四面体ABCD中，设AB = 1，CD =3，直线AB与CD的距离为

B E



A



2，夹角为，则四面体的体积等于______．

3

【解析】 法1：如图，将四面体ABCD补成四棱锥A – BDCE， 且BE∥CD，BE = CD，则∠ABE =

D C

2或，BE =3，CD∥面ABE，∴CD与AB33

1

3

的距离即为CD到平面ABE的距离，亦即C到平面ABE的距离就是三棱锥C – ABE的高h = 2，∴VA – BCD = VA – BEC = VC – ABE =hS△ABE 2

1311ABBEsin=. 232

B

E C

D



A

法2：如图，把四面体ABCD补成三棱柱ABE – FCD，则面ABE∥面CDF，AB∥CF，且CF = 1，则AB与CD的距离就是平面ABE与平面FCD的距离，即三棱柱的高h = 2，且∠DCF =

2或. 33

F

∴V柱 = S△FCD · h =

13

CDCFsin2， 23211

故四面体的体积为V柱.

32

1311

,V平行六面体 = S底· h =13sin2，故四面体的体积为.

23232

B

A

C

D

法3：如图，把四面体ABCD补成平行六面体，则四面体的体积是平行六面体体积的

【评注】三棱锥补成四棱锥、三棱柱或正方体可以简化求体积，本题将两异

面的直线段构成的四面体用三种不同的补形探究出. 结论：在四面体ABCD中，设AB = a，CD = b，直线AB与CD的距离为h，夹角为θ，则四面体的体积为V =

1

abhsin. 6

【例2】已知正三棱锥P－ABC，点P，A，B，C都在半径为3的球面上，若PA，PB，

2.三侧棱两两垂直的三棱锥补形成长方体

PC两两相互垂直，则正三棱锥P－ABC球心到截面ABC的距离为________．

【解析】正三棱锥补成正方体如图，可知球心O为体对角线PD的中点，且PO＝3，1311232

又P到平面ABC的距离为h，则××(22)·h＝××2×2×2.∴h＝.

34323

【评注】 如果三棱锥的三条侧棱互相垂直并且相等，则可以补形为一个正方体;如果三棱锥的三条侧棱互相垂直但不相等，则可以补形为一个长方体，长方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心．R＝

2

a2＋b2＋c2l2

4

＝(l为长方体的体对角线长)．

4

【变式1】利用四个面为直角三角形的三棱锥补成长方体求外接球的面积

在三棱锥VABC中，VA底面ABC，ABC90，若

V



A

C



1

B






VA1,AB2,BC3，则三棱锥外接球的表面积为_______．

1.14.【解析】将三棱锥VABC中补成如图所示的长方体，则三棱锥的VABC的外接球即如图所示的长方体的外接球，球的直径等于长方体的对角线的长14，∴三棱锥外接球的表面积为

4r214.

【变式2】利用三侧棱两两垂直的三棱锥补成长方体求四面体的体积 如图所示，在四面体ABCD中，AB,BC,BD两两垂直，且

ABBC2，E是AC的中点，异面直线AD与BE所成角的

余弦值为

D

G

B

E

C

F H

Q

10

，则四面体ABCD的体积 . 10

A

2.

8

【解析】依题意把AB,BC,BD视为长方体一角的三条3

棱，将四面体ABCD补成长方体CFABGHQD.如图，连结

GF,BF，则GFB就是异面直线AD与BE所成角，设BDx,则BG2GF2x24,BF28，由

余弦定理求得x4.V四面体ABCD=3.对棱相等的三棱锥补成长方体

【例3】已知四面体SABC的三组对棱相等，依次为25、13、5，则四面体的体积为 .

【解析】 如图, 把四面体S – ABC补形为长方体ADBE – GSHC,设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则有a + b = (25)，b + c = (13)，c + a

2

2

2

2

2

2

2

2

18224=. 63

G S

A D



B H

C

E

= 5，联立以上三式并解之得：a = 4，b = 2，c = 3. 故VS – ABC = V长方体 – 4VS –

ABD

2

= abc – 4 

111

abcabc = 8. 323

【变式1】四面体补成长方体求体积

已知四面体SABC的三组对棱相等，依次为25、13、5，则四面体的体积为 ． 1.8 【解析】 如图, 把四面体S – ABC补形为长方体ADBE – GSHC, 设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则有a + b = (25)，

2

2

2

b2 + c2 = (13)2，c2 + a2 = 52，联立以上三式并解之得： a = 4，b = 2，c = 3. 故VS – ABC = V长方体 – 4VS – ABD

= abc – 4 

111

abcabc = 8. 323

【变式2】四面体补成正方体等积法求点到面的距离

已知正三棱锥P－ABC，点P，A，B，C都在半径为3的球面上，若PA，PB，PC两两相互垂直，则球心到截面ABC的距离为________．



2


2.

3

【解析】正三棱锥补成正方体如图，可知球心O为体对角线PD的中点，且PO＝3，又P到平3

1311232

面ABC的距离为h，则××(22)·h＝××2×2×2.∴h＝.

34323

【变式】由三视图构建长方体探究变量关系借助于均值不等式求最值

某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图、俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则ab的最大值是________．

1.4 【解析】 构造一个体对角线为7且一条面对角线为6的长方体，设其长、宽、高分别为x、y、

x2z26

2a2b222222

z，则yza，相加得xyz3，又x2y2z27，

2222

yxb

a2b2

4，ab2(a2b2)4． 2



3

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