高中数学竞赛平面几何的几个重要定理——梅涅劳斯定理

2023-04-09 23:09:14 文档大全网 [ 字体：小中大 ] [ 阅读： ]

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梅涅劳斯定理：

定理1：若直线l不经过ABC的顶点，并且与ABC的三边BC、CA、AB或它们的延长线分别交于P、Q、R，则

BPCQAR1PCQARB

证：设hA、hB、hC分别是A、B、C到直线l的垂线的长度，则：

BPCQARhBhChA

1PCQARBhChAhB

注：此定理常运用求证三角形相似的过程中的线段成比例的条件；

例1：若直角ABC中，CK是斜边上的高，CE是ACK的平分线，E点在AK上，D是AC的中点，F是DE与CK的交点，证明：BF//CE。

证：在EBC中，作B的平分线BH则：EBCACK

HBCACE,HBCHCBACEHCB90

即：BHCEEBC为等腰三角形作BC上的高EP，则：CKEP

CDAEKF

对于ACK和三点D、E、F依梅涅劳斯定理有：1 DAEKFC

KFEKCKEPBPBKKFBK于是＝即：＝

FCAEACACBCBEFCBE

KFBK

依分比定理有：＝FKBCKEBF//CE

KCKE

定理2：设P、Q、R分别是ABC的三边BC、CA、AB上或它们的延长线上的三点，并且P、Q、R三点中，位于ABC边上的点的个数为0或2，这时若

BPCQAR1，PCQARB

求证：P、Q、R三点共线；

证：设直线PQ与直线AB交于R'，于是由定理1得：BPCQAR'

'1又PCQARB

BPCQARAR'AR1，则：'＝PCQARBRBRB

由于在同一直线上的P、Q、R'三点中，位于ABC边上的点的个数也为0或2，因此R与R'或者同在AB线段上，或者同在AB的延长线上；

若R与R'同在AB线段上，则R与R'必定重合，不然的话，设ARAR',

ARAR'ARAR'''

这时ABARABAR,即BRBR,于是可得这与＝'矛盾'

BRBRBRBR

''

类似地可证得当R与R同在AB的延长线上时，R与R也重合

综上可得：P、Q、R三点共线；

注：此定理常用于证明三点共线的问题，且常需要多次使用再相乘；

例2.点P位于ABC的外接圆上；A1、B1、C1是从点P向BC、CA、AB引的垂线的垂足，证明点A1、B1、C1共线；

BABPcosPBC

证：易得：1,

CA1CPcosPCBCB1CPcosPCA,AB1APcosPAC将上面三条式子相乘，且

AC1APcosPAB

BC1PBcosPBA

C1

B

A

A1

C

B1

PACPBC,PABPCB,PCAPBA180

BACBAC1

可得11＝1，依梅涅劳斯定理可知A1、B1、C1三点共线；

CA1AB1BC1

【练习】从点1K引四条直线，另两条直线分别交这四条直线于A、B、C、D

ADACADAC

和A1、B1、C1、D1，试证：:11:11

BCBDB1C1B1D1

【练习2】设不等腰ABC的内切圆在三边BC、CA、AB上的切点分别为D、E、F，则EF与BC，FD与CA，DE与AB 的交点X、Y、Z在同一条直线上；

【练习3】已知直线AA1，BB1，CC1相交于O，直线AB和

A1B1的交点为C2，直线BC与B1C1的交点是A2，直

线AC与A1C1的交点是B2，试证：A2、B2、C2三点共线；

【练习4】在一条直线上取点E、C、A，在另一条上取点B、F、D，记直线AB和ED，CD和AF，CD和AF，EF和BC的交点依次为L、M、N，证明：L、M、N共线

练习1的证明

证：若AD//A1D1，结论显然成立；

若AD与A1D1相交与点L，则把梅涅劳斯定理分别用于A1AL和B1BL可得：ADLD1A1KLCAKA1C1BCLC1B1K

111LDA1D1AKACA1KLC1LCB1C1BKLDBKB1D1

1BDB1KLD1

ADBCA1C1B1D1

将上面四条式子相乘可得：1

ACBDA1D1B1C1ACADA1C1A1D1即：::

BCBDB1C1B1D1