导数的概念及运算

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第一节 导数的概念及运算

重点、难点回顾： 1. 平均变化率

一般地，函数f(x)在区间x1,x2上的平均变化率为 . 2. 函数f(x)在xx0处的导数

设函数f(x)在区间(a,b)上有定义，xy

0(a,b)，当x无限趋近于0时，比值 ，无限趋近 于一个常数A，则称f(x)在点xxx

0处可导，并称该常数A为函数f(x)在点xx0处的 ，记

作 .

3. 导函数（导数）

若f(x)对于区间(a,b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为 ，记作 . 4. 导数的几何、物理意义

（1）导数f'

(x0)的几何意义就是曲线f(x)在点(x0,f(x0)处的 . 即k=f(x0).

（2）设s=s（t）是位移函数，则s'

(t0)表示物体在t=t0时刻的____. （3）设v=v（t）是速度函数，则v'

(t0)表示物体在t=t0时刻的____.

5. 基本初等函数的导数公式

（1）C'

 (C为常数)；（2）(xn)'

 (nQ

)；（3）(sinx)'

 ；（4）(cosx)'

 ；

（5）(ex)'

 （6）(ax)'

 ；（7）(lnx)'

 ；（8）(log'

ax) . 6.导数的四则运算法则

（1）f(x)g(x)= ；（2）f(x)g(x)= ；

（3）cf(x)=_ （c为常数）；（4）f(x)g(x)= （g（x）≠0）. 7.复合函数的导数

一般地，设函数u

(x)在点x处有导数u'x'(x)，函数yf(u)在点x

的对应点u处有导

数y'uf'(u)，则复合函数yf(x)在点x处有导数，且 或写作 .

这就是复合函数的求导法则，即复合函数对自变量的导数，等于 . 例1．求下列函数的导数：

（1）f(x)25x513

x34x26； （2）f(x)(x4)(2x1)2

；

（3）f(x)ln(2x3)； （4）f(x)x+cosxx+sinx

.



练习1（1）f(x)23121sinx

3x2x6x3； （3）f(x)

1cosx

； （2）f(x)ln(43x)





例2．已知函数f(x)x3

x16，

（1）求曲线yf(x)在．点（2，-6）处的切线的方程； （2）直线l为曲线yf(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标。

练习：

（1）求曲线yx3

3x2

在点（1,2）处的切线方程； （2）变式：例2（1）改为求过．点（2,-6）的切线方程.

体验高考：

1.(2009全国Ⅱ)曲线在点（1,1）处的切线方程是（ ） A.x

y20 B.xy20 C.x4y50 D.x4y50

2.（2011江西）曲线

yex在点A（0,1）处的切线斜率为（ ）

A.1 B.2 C.e D.1

e

课后练习：

1.曲线yx3

3x2

1在点(1,1)处的切线方程为







（ ）

(A)y3x4 (B) y3x2 (C)y4x3 (D)y4x5

2.已知质点运动的方程为s410t5t2

，则该质点在t4时的瞬时速度为 （ ）

(A)60 (B)120 (C)80 (D)50

3.设点P是曲线yx3

3x35

上的任意一点，点P处切线的倾斜角为，则角的取值范围是

(A)[0,23] (B)[0,2][23,) (C)(2,23] (D)[23,3

]

4.曲线y4xx2

上两点A(4,0),B(2,4)，若曲线上一点P处的切线恰好平行于弦AB，则点P的坐标为(A)(1,3) (B)(3,3) (C)(6,12) (D)(2,4)

5．若函数f(x)x2

bxc的图象的顶点在第四象限，则函数f(x)的图象是（ ）

yy

yy

o x

x

O



o x

o x

(A)

(B)

(C)

(D)6．已知曲线yf(x)在x2处的切线的倾斜角为3

4，则f(2) ，[f(2)] ．

7．设函数f(x)的导数为f(x)，且f(x)x2

2xf(1)，则f(2)

8.已知曲线S:y2xx3



（1）求曲线S在点A(1,1)处的切线方程；（2）求过点B(2,0)并与曲线S相切的直线方程．

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导数的运算 一、求下例函数得到函数

x

1.f(x)ex1ax

2.f(x)(xk)2

ek



3.fxxkex



f(x)lnxa(1a)x2

2(1a)x



二.1设函数f()xx3

2ax2

bxa，gx()x2

3x2，其中xR，a、b为常数，已知曲线yf(x)与yg(x)在点（2,0）处有相同的切线l。

(I) 求a、b的值，并写出切线l的方程；

2.设函数f(x)=x+ax2+blnx，曲线y=f(x)过P（1,0），且在P点处的切斜线率为2． （I）求a，b的值；

3.已知函数f(x)

alnxx1b

x

，曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x2y30。 （Ⅰ）求a、b的值；





4.设f(x)xax

bx的导数f'(x)满足f'()a,f'()b，其中常数a,bR。 （Ⅰ）求曲线yf(x)在点(,f())处的切线方程； 5. 设

的导数为

,若函数

的图象关于直线

对称，且

.](Ⅰ)求实数,的值;



三、1.全国Ⅰ文（4）曲线yx2

2x1在点（1,0）处的切线方程为（ ） （A）yx1 （B）yx1 （C）y2x2 （D）y2x2 2.湖南文7．曲线ysinx1sinxcosx2在点M(

4

,0)处的切线的斜率为（ ）

A．

122 B．1

2

C．22 D．2

3.全国Ⅱ理（8）曲线ye

2x

1在点（0,2）处的切线与直线y0和yx围成的三角形的面积为

(A)13 (B)12 (C)2

3

(D)1

4.重庆文(3)曲线

在点

,

处的切线方程为 （ ） (A)

(B)

(C)

(D)



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