第10课时等比数列的概念和通项公式

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第10课时等比数列的概念和通项公式

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知识网络 学习要求

1.进一步体会等比数列是用来刻画一类离散现象的重要数学模型,理解等比数列的概念，

2. 掌握等比数列的通项公式,并能运用公式解决一些简单的实际问题. 【自学评价】

1．如果an≠0，且an+12=anan+2对任意的n∈N*都成立，则数列{an}是等比数列. 2．等比数列的递增和递减性. 在等比数列{an}中

(1)若a1＞0，q＞1或a1＜0，0＜q＜1则数列递增，

(2)若a1＞0,0＜q＜1,或a1＜0，q＞1 ,则数列递减；

(3)若q=1，则数列为常数列； (4)若q＜0，则数列为摆动数列.

3．对于k、l、m、n∈N*，若mnpq，则akal=aman.；

【选修延伸】

【例1】 （１）在等比数列{an}中，是否有a2n＝an-1 an+1（ｎ≥２）？

（２）如果数列{an}中，对于任意的正整数ｎ（ｎ≥２），都有a2n＝an-1 an+1，那么，{an}一定是等比数列吗？ 【解】（１）因为{an}是等比数列，所以

∴成立．

（2）不一定．例如对于数列

０，０，０，…， 总有a2n＝an-1 an+1，

但这个数列不是等比数列．

【例2】如图，一个边长为１的正三角形，

将每边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图（２），如此继续下去，得图（３）……试求第ｎ个图

形的边长和周长．

【解】

这序列图形的边数构成的数列为：

3,34,342,,34n1,;

它们的边长构成的数列为： 1,111

3,32,,3

n1,. ∴第n个图形的周长Cn为

追踪训练一

１．三个数成等比数列，它们的积等于２７，它们的平方和等于９１，求这三个数． 【答案】这三个数为1，3，9或-1，3，-9或9，3，1或-9，3，-1

２．如图，在边长为１的等边三角形ＡＢＣ中，连结各边中点得△Ａ１Ｂ１Ｃ１，再连结△Ａ１Ｂ１Ｃ１各边中点得△Ａ２Ｂ２Ｃ２……如此继续下去，试证明数列Ｓ△ＡＢＣ， Ｓ△Ａ１Ｂ１Ｃ１，Ｓ△Ａ２Ｂ２Ｃ２，…是等比数列． 【答案】 以

31

4为首项，4

为公比的等比数列

3．在等比数列{an}中，如果a6=6,a9=9，那么a3等于( A )

A.4

B.

32 C.16

9

D.2 4.等比数列{a2，则2a1an}的公比为2

2a的

3a4

值为( A )

A.

14 B.11

2 C.8 D.1 【选修延伸】

【例3】数列{an}满足a11，

an12an1 ① 求证{an1}是等比数列； ② 求数列{an}的通项公式。 【解】 ①证明：

an12an1

an112an22(an1)

又a11 an10

故an1

1a12 n {an1}是等比数列

听课随笔②解：{an1}是等比数列，且a1

12,q2 故a2n

n1

【例4】在等比数列｛an｝中， 已知a4a7＝－512，a3＋a8＝124， 且公比为整数，求a10. 【解】 由a4a7＝－512知，a3a8＝－512

解方程组

a3a8512且q为整数得

a3a8124




a34a3128

(舍去a或)q＝8128a845a8a2 3

∴a10＝a3q7＝－4(－2)7＝512.

【点评】 充分地利用等比数列的性质，灵活地使用等比数列的通项公式，能使解题的过程简捷明快.

追踪训练二

1．已知等比数列中a3=－4,a6=54, 则a9=－729.

2．将20，50，100这三个数加上相同的常数，使它们成为等比数列，则其公比是

53

3．在等比数列{an}中各项都是正数，a6a10+a3a5=41，a4a8=4,则a4+a8=__7____. 4．在

1

n

和n+1之间插入n个正数，使这n+2个数依次成等比数列，求所插入的n个数之积.

【解】 设等比数列｛an｝的公比为q，∵a1n,a11=

n+2=n+1,∴n

qn1

=n+1,qn+1=n(n+1), ∵a2·n(na13)

·…·an＋＋1＝a1nq1

2＋3＋…＋n

＝

2

nn

a2

1nq=(an11q)2

=(n1n)2

，即插入的n个数之积为(n1n

n

)2

. 5．已知各项都为正数的等比数列{an}中，a1a5－2a3a5+a3a7=36，a2a4+2a2a6+a4a6=100，求数列的通项公式.

【解】 由已知条件a1a5－2a3a5+a3a7=36,a2a4+2a2a6+a4a6=100

知22a32a3a5a536a22a2

∴33a5a5100

(a2

3a5)36

a3a56(a2

即3a5)100a3

a① 510或a3a56a ② 3a510

解①得aaa3=8,5=2∴q=51

a=,

32

a1n=a3(

n－31n2)=(－62

) 解②得:aa3=2,a5=8 q=5

a=2, 3

an=a3(2)n－

3=2n－

2

【师生互动】

学生质疑

教师释疑

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