【#文档大全网# 导语】以下是®文档大全网的小编为您整理的《基本不等式知识梳理e》，欢迎阅读！
根本不等式
【考纲要求】
1.了解根本不等式ab
ab
的证明过程，理解根本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号2
ab
解决最大〔小〕值问题. 2
“≥〞取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；
2.会用根本不等式ab
3.会应用根本不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题 【知识网络】
重要不等式ab2ab
22
根本不等式
根本不等式
ab
ab 2
最大〔小〕值问题
根本不等式的应用
【考点梳理】
考点一：重要不等式及几何意义 1．重要不等式：
如果a,bR，那么ab2ab〔当且仅当ab时取等号“=〞〕. 2．根本不等式：
2
2
ab
ab〔当且仅当ab时取等号“=〞〕. 2ab22
要点诠释：ab2ab和ab两者的异同：
2
如果a,b是正数，那么
〔1〕成立的条件是不同的：前者只要求a,b都是实数，而后者要求a,b都是正数； 〔2〕取等号“=〞 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当ab时取等号〞。
a2b2abab2
ab可以变形为：ab(). 〔3〕ab2ab可以变形为：ab，
222
2
2
3.如图，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，ACa,BCb，过点C作DCAB交圆于点D，
连接AD、BD.
易证RtACD~RtDCB，那么CDCACB，即CD这个圆的半径为时，等号成立.
要点诠释：1.在数学中，我们称
2
ab.
abab
，它大于或等于CD，即其中当且仅当点C与圆心重合，即abab，22
ab
为a,b的算术平均数，称ab为a,b的几何平均数. 因此根本2
不等式可表达为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
ab
看作是正数a,b的等差中项，ab看作是正数a,b的等比中项，那么根本不等式可以表达为：2
两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.
考点二：根本不等式ab
ab
的证明 2
1. 几何面积法
如图，在正方形ABCD中有四个全等的直角三角形。
设直角三角形的两条直角边长为a、b，那么正方形的边长为a2b2。这样，4个直角三角形
的面积的和是2ab，正方形ABCD的面积为ab。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：ab2ab。当直角三角形变为等腰直角三角形，即ab时，正方形EFGH缩为一个点，这时有ab2ab。
得到结论：如果a,bR，那么ab2ab〔当且仅当ab时取等号“=〞〕 特别的，如果a0，b0,我们用a、b分别代替a、b，可得： 如果a0，b0,那么ab2ab，〔当且仅当ab时取等号“=〞〕. 通常我们把上式写作：如果a0，b0,ab2. 代数法
∵ab2ab(ab)0，
当ab时，(ab)0；
2
2
2
2+
22
22
22
22
ab
，〔当且仅当ab时取等号“=〞〕 2
当ab时，(ab)0.
所以(ab)2ab，〔当且仅当ab时取等号“=〞〕.
特别的，如果a0，b0,我们用a、b分别代替a、b，可得： 如果a0，b0,那么ab2ab，〔当且仅当ab时取等号“=〞〕. 通常我们把上式写作：
2
2
2
ab
，〔当且仅当ab时取等号“=〞〕. 2ab
要点三、用根本不等式ab求最大〔小〕值
2
如果a0，b0,ab
在用根本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。 ① 一正：函数的解析式中，各项均为正数；
② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值。 要点四、几个常见的不等式 1〕ab2ab2〕
2
2
a,bR，当且仅当a=b时取“=〞号。
ab
ab2ab2ba
a,bR，当且仅当a=b 时取“=〞号。
3〕
ab0；特别地：a12a0；
a
a2b2ab2ab
4〕 a,bR ab
22ab
5〕ab【典型例题】
类型一：根本不等式ab
11
4a,bR； ab
ab
的理解 2
例1. a0，b0，给出以下推导，其中正确的有 〔填序号〕. 〔1〕ab
1
的最小值为22； ab
〔2〕(ab)()的最小值为4； 〔3〕a
1a1b
1
的最小值为2. a4
211
2ab22〔当且仅当ab时取等号〕.
2abab
【解析】〔1〕；〔2〕
〔1〕∵a0，b0，∴ab
本文来源：https://www.wddqxz.cn/fb1e48f9730abb68a98271fe910ef12d2af9a973.html
2022-10-05
