常见抽象函数类型

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常见抽象函数类型及解题策略

没有给出具体解析式的函数yfx，称为抽象函数。

抽象函数问题将函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数、周期性等性质和图象集于一身，所以这类问题可以全面综合考查我们对于函数概念和性质的理解。

常见抽象函数类型

具体函数

fxyfxfyc（c为常数） ykxb

fxyfxfy fxyfxfy

yx

ylogax

fxyfxfy fxfxn（n为周期）

yax

ysinx，ycosx，ytanx.

常用方法：①特殊值法，如f0,f1,f1；②“凑”（转化）的方法；③同时借助于函数的单调性、奇偶性等性质. 例题：

一，fxyfxfyc型 （ykxb）

1，函数fx的定义域为R，x,yR，有fxyfxfy；且当

x0时，f(x)0，且f12，求fx在区间3,3上的最大值和最小值.

2，函数fx，x,yR，满足条件fxfy2fxy；x0时，f(x)2；

f35，求不等式fa22a23的解.






二，fxyfxfy型 （yx）

3，函数fx，x,yR，满足fxyfxfy，且f00，试判断fx的奇偶性.

三，fxyfxfy型 （ylogax）

4，已知fx的定义域为R，x,yR，fxyfxfy.求证：fx是偶函数.

5，fx是定义在0,上的单调增函数，满足fxyfxfy，f31， ① 求f1； ② 若fxfx82，求x的取值范围. 四，fxyfxfy型 （yax）

6，函数fx，x,yR，满足fx0，fxyfxfy，且当

x0时，fx1，求当x0时，fx的取值范围.

五，fxfxn （ysinx，ycosx，ytanx.）

1fx. ，又f122，求f2001

1fx

7，fx是定义在R上的函数，fx2

8，函数fx，x,yR，满足fxyfxy2fxfy，并存在实数c，

c

使得f0，试问fx是否为周期函数？若是，求出它的一个周期；若不

2

是，请说明理由.

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